Επίλυση 5x^2-40x-45=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -9.

$$1,-9 3,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-9 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-8x-9 ως \left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-9x.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και x+1=0.

$$x=9 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -40 και το c με -45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -40 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 1600 και το 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -40 είναι 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{40±50}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 40 και το 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Διαιρέστε το 90 με το 10.

$$x=9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{40±50}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 50 από 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το -10 με το 10.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=9 x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Προσθέστε 45 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Η αφαίρεση του -45 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Αφαιρέστε -45 από 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Διαιρέστε το -40 με το 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Διαιρέστε το 45 με το 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Προσθέστε το 9 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Παραγον x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=9 x=-1$$