Επίλυση 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -40 και το c με 85 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -40 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 1600 και το -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -40 είναι 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{40±10i}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 40 και το 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Διαιρέστε το 40+10i με το 10.

$$x=4+i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{40±10i}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10i από 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Διαιρέστε το 40-10i με το 10.

$$x=4-i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4+i x=4-i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Αφαιρέστε 85 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Η αφαίρεση του 85 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Διαιρέστε το -40 με το 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Διαιρέστε το -85 με το 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Προσθέστε το -17 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Παραγον x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=i x-4=-i$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4+i x=4-i$$