Επίλυση 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$1,-10 2,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-5 b=2$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-3x-2 ως \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 5x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -3 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 9 και το 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±7}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 7.

$$x=\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το 10 με το 10.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±7}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 3.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Η αφαίρεση του -2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Αφαιρέστε -2 από 0.

$$5x^{2}-3x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το \frac{9}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Προσθέστε \frac{3}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$