Επίλυση 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-3 b=-1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-4x+3 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -20 και το c με 15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 400 και το -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -20 είναι 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±10}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 20 και το 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Διαιρέστε το 30 με το 10.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±10}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το 10 με το 10.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

Η αφαίρεση του 15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Διαιρέστε το -20 με το 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Διαιρέστε το -15 με το 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Προσθέστε το -3 και το 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Παραγον x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=1$$