Επίλυση 5x^2-14x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 14 x + 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{34} + 7}{5} \approx 2,566190379$$

$$x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}\approx 0,233809621$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-14x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -14 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 196 και το -60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{136}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 136.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{34}}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±2\sqrt{34}}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 2\sqrt{34}.

$$x=\frac{2\sqrt{34}+14}{10}$$

Διαιρέστε το 14+2\sqrt{34} με το 10.

$$x=\frac{\sqrt{34}+7}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±2\sqrt{34}}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{34} από 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{34}}{10}$$

Διαιρέστε το 14-2\sqrt{34} με το 10.

$$x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{34}+7}{5} x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-14x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-14x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-14x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-14x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{14}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{5} και το \frac{49}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{34}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{34}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{34}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{5}=\frac{\sqrt{34}}{5} x-\frac{7}{5}=-\frac{\sqrt{34}}{5}$$

Προσθέστε \frac{7}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{34}+7}{5} x=\frac{7-\sqrt{34}}{5}$$