Επίλυση 5x^2+x+1=5

$$5 x ^ { 2 } + x + 1 = 5$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Αφαιρέστε 5 από 1 για να λάβετε -4.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-4 b=5$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+x-4 ως \left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 5x^{2}-4x.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-4=0 και x+1=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+x+1-5=5-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Αφαιρέστε 5 από 1.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 1 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 1 και το 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±9}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 9.

$$x=\frac{8}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±9}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από -1.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το -10 με το 10.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+x+1-1=5-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+x=5-1$$

Αφαιρέστε 1 από 5.

$$5x^{2}+x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Προσθέστε το \frac{4}{5} και το \frac{1}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{10} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$