Επίλυση 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -15.

$$-1,15 -3,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=-1 b=15$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+14x-15 ως \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 15 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 70 και το c με -75 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 70 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 4900 και το 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-70±80}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -70 και το 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το 10 με το 10.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-70±80}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 80 από -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Διαιρέστε το -150 με το 10.

$$x=-15$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-15$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Προσθέστε 75 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Η αφαίρεση του -75 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Αφαιρέστε -75 από 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Διαιρέστε το 70 με το 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Διαιρέστε το 75 με το 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Διαιρέστε το 14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Προσθέστε το 15 και το 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Παραγον x^{2}+14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Απλοποιήστε.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-15$$