Επίλυση 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+36. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=6 b=6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+12x+36 ως \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το x+6=0.

$$x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 60 και το c με 180 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 60 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 3600 και το -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Διαιρέστε το -60 με το 10.

$$x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Αφαιρέστε 180 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

Η αφαίρεση του 180 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+60x=-180$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

Διαιρέστε το 60 με το 5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

Διαιρέστε το -180 με το 5.

$$x^{2}+12x=-36$$

Διαιρέστε το 12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

Προσθέστε το -36 και το 36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Παραγον x^{2}+12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x+6=0 x+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-6 x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=-6$$