Επίλυση 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 6 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 36 και το -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Διαιρέστε το -6+2i\sqrt{41} με το 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{41} από -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Διαιρέστε το -6-2i\sqrt{41} με το 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Η αφαίρεση του 10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Διαιρέστε το -10 με το 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Διαιρέστε το \frac{6}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Προσθέστε το -2 και το \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$