Επίλυση 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0,4+0,663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0,4-0,663324958i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 4 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 16 και το -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Διαιρέστε το -4+2i\sqrt{11} με το 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{11} από -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Διαιρέστε το -4-2i\sqrt{11} με το 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{5} και το \frac{4}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$