Επίλυση 5x^2+3x-11=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{229} - 3}{10} \approx 1,213274595$$

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}\approx -1,813274595$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+3x-11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 3 και το c με -11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+220}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 9 και το 220.

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το \sqrt{229}.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{229}}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{229} από -3.

$$x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x-11=0$$

Προσθέστε 11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Η αφαίρεση του -11 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Αφαιρέστε -11 από 0.

$$5x^{2}+3x=11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{11}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{11}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{11}{5}+\frac{9}{100}$$

Προσθέστε το \frac{11}{5} και το \frac{9}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{229}{100}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{229}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{229}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{229}}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{229}}{10}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{10} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{229}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{229}-3}{10}$$