Επίλυση 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 3 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 9 και το -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{11} από -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{5} και το \frac{9}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{10} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$