Επίλυση 5x^2+21x=-10x-6

$$5 x ^ { 2 } + 21 x = - 10 x - 6$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Συνδυάστε το 21x και το 10x για να λάβετε 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=31 ab=5\times 6=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 31.

$$a=1 b=30$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+31x+6 ως \left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(5x+1\right)+6\left(5x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+1\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x+1=0 και x+6=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Συνδυάστε το 21x και το 10x για να λάβετε 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 31 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 31 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-20\times 6}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 6.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-120}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 961 και το -120.

$$x=\frac{-31±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 841.

$$x=\frac{-31±29}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-31±29}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-31±29}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -31 και το 29.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-31±29}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 29 από -31.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Διαιρέστε το -60 με το 10.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

Συνδυάστε το 21x και το 10x για να λάβετε 31x.

$$5x^{2}+31x=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+31x}{5}=-\frac{6}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x=-\frac{6}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{31}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{31}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{31}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{31}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{961}{100}$$

Προσθέστε το -\frac{6}{5} και το \frac{961}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=\frac{841}{100}$$

Παραγον x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}=\frac{841}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{31}{10}=\frac{29}{10} x+\frac{31}{10}=-\frac{29}{10}$$

Αφαιρέστε \frac{31}{10} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$