Επίλυση 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 21.

$$a=1 b=20$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+21x+4 ως \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x+1=0 και x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 21 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 21 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 441 και το -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-21±19}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -21 και το 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-21±19}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Διαιρέστε το -40 με το 10.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{21}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{21}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{21}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{21}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{5} και το \frac{441}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Παραγον x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Αφαιρέστε \frac{21}{10} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$