Επίλυση 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Λύση ως προς t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -72 και το c με -108 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -72 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 5184 και το 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -72 είναι 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 72 και το 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Διαιρέστε το 72+12\sqrt{51} με το 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12\sqrt{51} από 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Διαιρέστε το 72-12\sqrt{51} με το 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Προσθέστε 108 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Η αφαίρεση του -108 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Αφαιρέστε -108 από 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{72}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{36}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{36}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{36}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Προσθέστε το \frac{108}{5} και το \frac{1296}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Παραγον t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Προσθέστε \frac{36}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$