Επίλυση 5n^2-6n-27

$$5 n ^ { 2 } - 6 n - 27$$

Παράγοντας

$$\left(n-3\right)\left(5n+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5n^{2}+an+bn-27. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=5\left(-27\right)=-135$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -135.

$$1,-135 3,-45 5,-27 9,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-135=-134 3-45=-42 5-27=-22 9-15=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -6.

$$a=-15 b=9$$

Γράψτε πάλι το 5n^{2}-6n-27 ως \left(5n^{2}-15n\right)+\left(9n-27\right).

$$\left(5n^{2}-15n\right)+\left(9n-27\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5n στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$5n\left(n-3\right)+9\left(n-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-3\right)\left(5n+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5n^{2}-6n-27=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-27\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-27\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-27\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -27.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+540}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 36 και το 540.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{576}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$n=\frac{-\left(-6\right)±24}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -6 είναι 6.

$$n=\frac{6±24}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$n=\frac{6±24}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{6±24}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 6 και το 24.

$$n=\frac{30}{10}$$

Διαιρέστε το 30 με το 10.

$$n=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{6±24}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από 6.

$$n=-\frac{18}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=-\frac{9}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -\frac{9}{5} με το x_{2}.

$$5n^{2}-6n-27=5\left(n-3\right)\left(n-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5n^{2}-6n-27=5\left(n-3\right)\left(n+\frac{9}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{5} και το n βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5n^{2}-6n-27=5\left(n-3\right)\times \frac{5n+9}{5}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5n^{2}-6n-27=\left(n-3\right)\left(5n+9\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(n-3\right)\left(5n+9\right)$$