Επίλυση 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -90 και το c με 54 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -90 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 8100 και το -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -90 είναι 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 90 και το 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Διαιρέστε το 90+6\sqrt{195} με το 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6\sqrt{195} από 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Διαιρέστε το 90-6\sqrt{195} με το 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Αφαιρέστε 54 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Η αφαίρεση του 54 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Διαιρέστε το -90 με το 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Διαιρέστε το -18, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -9. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Προσθέστε το -\frac{54}{5} και το 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Παραγον y^{2}-18y+81. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$