Επίλυση 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-2184. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-105 b=104$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-x-2184 ως \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 104 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-21 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-21=0 και 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -1 και το c με -2184 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 1 και το 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±209}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Διαιρέστε το 210 με το 10.

$$x=21$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±209}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 209 από 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-208}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Προσθέστε 2184 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Η αφαίρεση του -2184 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Αφαιρέστε -2184 από 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Προσθέστε το \frac{2184}{5} και το \frac{1}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Προσθέστε \frac{1}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$