Επίλυση 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0,4+0,916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0,4-0,916515139i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -4 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 16 και το -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Διαιρέστε το 4+2i\sqrt{21} με το 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{21} από 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Διαιρέστε το 4-2i\sqrt{21} με το 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Διαιρέστε το -5 με το 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Προσθέστε \frac{2}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$