Επίλυση 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -2 και το c με 15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 4 και το -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -296.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Διαιρέστε το 2+2i\sqrt{74} με το 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{74} από 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Διαιρέστε το 2-2i\sqrt{74} με το 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

Η αφαίρεση του 15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Διαιρέστε το -15 με το 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Προσθέστε το -3 και το \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Προσθέστε \frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$