Επίλυση 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-42. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -29.

$$a=-35 b=6$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-29x-42 ως \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -29 και το c με -42 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -29 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 841 και το 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -29 είναι 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{29±41}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 29 και το 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Διαιρέστε το 70 με το 10.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{29±41}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 41 από 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Προσθέστε 42 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Η αφαίρεση του -42 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Αφαιρέστε -42 από 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{29}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{29}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{29}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{29}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Προσθέστε το \frac{42}{5} και το \frac{841}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Παραγον x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Προσθέστε \frac{29}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$