Επίλυση 5x^2+8x+3=0

$$5 { x }^{ 2 } +8x+3=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=5\times 3=15$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 15.

$$1,15 3,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+15=16 3+5=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=3 b=5$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+8x+3 ως \left(5x^{2}+3x\right)+\left(5x+3\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(5x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 5x^{2}+3x.

$$x\left(5x+3\right)+5x+3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+3\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x+3=0 και x+1=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+8x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 8 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 64 και το -60.

$$x=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-8±2}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-8±2}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±2}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 2.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±2}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από -8.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το -10 με το 10.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{3}{5} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+8x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+8x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{8}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{4}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{4}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{5} και το \frac{16}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{4}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{3}{5} x=-1$$