Επίλυση 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Παράγοντας

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 23.

$$a=3 b=20$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+23x+12 ως \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 4 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 23 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 529 και το -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-23±17}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -23 και το 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-23±17}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Διαιρέστε το -40 με το 10.

$$x=-4$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{3}{5} με x_{1} και το -4 με x_{2}.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{5} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Απαλοιφή του 5, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 5 και 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$