Επίλυση 5x^2+14x+8=0

$$5 { x }^{ 2 } +14x+8 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=5\times 8=40$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 40.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=4 b=10$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+14x+8 ως \left(5x^{2}+4x\right)+\left(10x+8\right).

$$\left(5x^{2}+4x\right)+\left(10x+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(5x+4\right)+2\left(5x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+4\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x+4=0 και x+2=0.

$$x=-\frac{4}{5} x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+14x+8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 14 και το c με 8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-20\times 8}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-160}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 196 και το -160.

$$x=\frac{-14±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$x=\frac{-14±6}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-14±6}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±6}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -14 και το 6.

$$x=-\frac{8}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±6}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από -14.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Διαιρέστε το -20 με το 10.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{4}{5} x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+14x+8=0$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+14x+8-8=-8$$

Η αφαίρεση του 8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+14x=-8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+14x}{5}=-\frac{8}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{14}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{49}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{8}{5} και το \frac{49}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{9}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{3}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{3}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{4}{5} x=-2$$