Επίλυση 5x^2=11x-2

$$5 { x }^{ 2 } = 11x-2$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 11x και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=5\times 2=10$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-10 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-11x+2 ως \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(5x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και 5x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 11x και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -11 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\times 2}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-40}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 121 και το -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±9}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±9}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{11±9}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±9}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 9.

$$x=\frac{20}{10}$$

Διαιρέστε το 20 με το 10.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±9}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 11.

$$x=\frac{2}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 11x και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-11x}{5}=-\frac{2}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=-\frac{2}{5}+\frac{121}{100}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{5} και το \frac{121}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=\frac{81}{100}$$

Παραγον x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{10}=\frac{9}{10} x-\frac{11}{10}=-\frac{9}{10}$$

Προσθέστε \frac{11}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$