Επίλυση 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 49, το b με 30 και το c με 25 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Υψώστε το 30 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -196 επί 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Προσθέστε το 900 και το -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -30 και το 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Διαιρέστε το -30+20i\sqrt{10} με το 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20i\sqrt{10} από -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Διαιρέστε το -30-20i\sqrt{10} με το 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Η αφαίρεση του 25 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Η διαίρεση με το 49 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Διαιρέστε το \frac{30}{49}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{15}{49}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{15}{49} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{15}{49} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Προσθέστε το -\frac{25}{49} και το \frac{225}{2401} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Παραγον x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Αφαιρέστε \frac{15}{49} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$