Επίλυση 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Λύση ως προς t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως t^{2}+at+bt-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$1,-4 2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-4 b=1$$

Γράψτε πάλι το t^{2}-3t-4 ως \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το t στην εξίσωση t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο t-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε t-4=0 και t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 49, το b με -147 και το c με -196 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Υψώστε το -147 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -196 επί -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Προσθέστε το 21609 και το 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -147 είναι 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{147±245}{98} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 147 και το 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Διαιρέστε το 392 με το 98.

$$t=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{147±245}{98} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 245 από 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Διαιρέστε το -98 με το 98.

$$t=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=4 t=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Προσθέστε 196 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Η αφαίρεση του -196 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Αφαιρέστε -196 από 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Η διαίρεση με το 49 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Διαιρέστε το -147 με το 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Διαιρέστε το 196 με το 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=4 t=-1$$