Επίλυση 49x^2-200x-500=0

$$49 { x }^{ 2 } -200x-500=0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{10 \sqrt{345} + 100}{49} \approx 5,831464412$$

$$x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}\approx -1,749831759$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$49x^{2}-200x-500=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 49, το b με -200 και το c με -500 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\times 49\left(-500\right)}}{2\times 49}$$

Υψώστε το -200 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\times 49\left(-500\right)}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 49.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-196\left(-500\right)}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -196 επί -500.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+98000}}{2\times 49}$$

Προσθέστε το 40000 και το 98000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{138000}}{2\times 49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 138000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±20\sqrt{345}}{2\times 49}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -200 είναι 200.

$$x=\frac{200±20\sqrt{345}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 49.

$$x=\frac{200±20\sqrt{345}}{98}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{200±20\sqrt{345}}{98} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 200 και το 20\sqrt{345}.

$$x=\frac{20\sqrt{345}+200}{98}$$

Διαιρέστε το 200+20\sqrt{345} με το 98.

$$x=\frac{10\sqrt{345}+100}{49}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{200±20\sqrt{345}}{98} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20\sqrt{345} από 200.

$$x=\frac{200-20\sqrt{345}}{98}$$

Διαιρέστε το 200-20\sqrt{345} με το 98.

$$x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{10\sqrt{345}+100}{49} x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-200x-500=0$$

Προσθέστε 500 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$49x^{2}-200x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

Η αφαίρεση του -500 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$49x^{2}-200x=-\left(-500\right)$$

Αφαιρέστε -500 από 0.

$$49x^{2}-200x=500$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 49.

$$\frac{49x^{2}-200x}{49}=\frac{500}{49}$$

Η διαίρεση με το 49 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 49.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x=\frac{500}{49}$$

Διαιρέστε το -\frac{200}{49}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{100}{49}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{100}{49} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\left(-\frac{100}{49}\right)^{2}=\frac{500}{49}+\left(-\frac{100}{49}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{100}{49} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}=\frac{500}{49}+\frac{10000}{2401}$$

Προσθέστε το \frac{500}{49} και το \frac{10000}{2401} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}=\frac{34500}{2401}$$

Παραγον x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{100}{49}\right)^{2}=\frac{34500}{2401}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{100}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{34500}{2401}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{100}{49}=\frac{10\sqrt{345}}{49} x-\frac{100}{49}=-\frac{10\sqrt{345}}{49}$$

Προσθέστε \frac{100}{49} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{10\sqrt{345}+100}{49} x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}$$