Επίλυση 48=8sqrt{7}y-4y^2

$$48 = 8 \sqrt{ 7 } y-4 { y }^{ 2 }$$

Λύση ως προς y

$$y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i\approx 2,645751311+2,236067977i$$

$$y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7}\approx 2,645751311-2,236067977i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$8\sqrt{7}y-4y^{2}=48$$

Αφαιρέστε 48 και από τις δύο πλευρές.

$$8\sqrt{7}y-4y^{2}-48=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-4y^{2}+8\sqrt{7}y-48=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με 8\sqrt{7} και το c με -48 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{\left(8\sqrt{7}\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-48\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το 8\sqrt{7} στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{448-4\left(-4\right)\left(-48\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{448+16\left(-48\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 16 επί -48.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{448-768}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 448 και το -768.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{-320}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -320.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8\sqrt{7} και το 8i\sqrt{5}.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}+8\sqrt{5}i}{-8}$$

Διαιρέστε το -8\sqrt{7}+8i\sqrt{5} με το -8.

$$y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8i\sqrt{5} από -8\sqrt{7}.

$$y=\frac{-8\sqrt{5}i-8\sqrt{7}}{-8}$$

Διαιρέστε το -8\sqrt{7}-8i\sqrt{5} με το -8.

$$y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7} y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$8\sqrt{7}y-4y^{2}=48$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+8\sqrt{7}y=48$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$\frac{-4y^{2}+8\sqrt{7}y}{-4}=\frac{48}{-4}$$

Η διαίρεση με το -4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -4.

$$y^{2}+\frac{8\sqrt{7}}{-4}y=\frac{48}{-4}$$

Διαιρέστε το 8\sqrt{7} με το -4.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y=\frac{48}{-4}$$

Διαιρέστε το 48 με το -4.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y=-12$$

Διαιρέστε το -2\sqrt{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\sqrt{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\sqrt{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+\left(-\sqrt{7}\right)^{2}=-12+\left(-\sqrt{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\sqrt{7} στο τετράγωνο.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+7=-12+7$$

Προσθέστε το -12 και το 7.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+7=-5$$

Παραγον y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+7. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\sqrt{7}\right)^{2}=-5$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\sqrt{7}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\sqrt{7}=\sqrt{5}i y-\sqrt{7}=-\sqrt{5}i$$

Προσθέστε \sqrt{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7}$$