Επίλυση 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 42x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-14 b=9$$

Γράψτε πάλι το 42x^{2}-5x-3 ως \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 14x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-1=0 και 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 42, το b με -5 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Πολλαπλασιάστε το -168 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Προσθέστε το 25 και το 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±23}{84} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{28}{84} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±23}{84} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{84} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Η διαίρεση με το 42 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{42}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{84}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{84} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{84} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Προσθέστε το \frac{1}{14} και το \frac{25}{7056} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Προσθέστε \frac{5}{84} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$