Επίλυση 42m^2-89m-21

$$42 m ^ { 2 } - 89 m - 21$$

Παράγοντας

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 42m^{2}+am+bm-21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-89 ab=42\left(-21\right)=-882$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -882.

$$1,-882 2,-441 3,-294 6,-147 7,-126 9,-98 14,-63 18,-49 21,-42$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-882=-881 2-441=-439 3-294=-291 6-147=-141 7-126=-119 9-98=-89 14-63=-49 18-49=-31 21-42=-21$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -89.

$$a=-98 b=9$$

Γράψτε πάλι το 42m^{2}-89m-21 ως \left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right).

$$\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 14m στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$14m\left(3m-7\right)+3\left(3m-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3m-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$42m^{2}-89m-21=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{\left(-89\right)^{2}-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Υψώστε το -89 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 42.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-168\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Πολλαπλασιάστε το -168 επί -21.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921+3528}}{2\times 42}$$

Προσθέστε το 7921 και το 3528.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{11449}}{2\times 42}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 11449.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±107}{2\times 42}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -89 είναι 89.

$$m=\frac{89±107}{2\times 42}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 42.

$$m=\frac{89±107}{84}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{89±107}{84} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 89 και το 107.

$$m=\frac{196}{84}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{196}{84} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 28.

$$m=\frac{7}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{89±107}{84} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 107 από 89.

$$m=-\frac{18}{84}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{84} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$m=-\frac{3}{14}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{7}{3} με x_{1} και το -\frac{3}{14} με x_{2}.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m-\left(-\frac{3}{14}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Αφαιρέστε m από \frac{7}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{14} και το m βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\times \frac{14m+3}{14}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3m-7}{3} επί \frac{14m+3}{14} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{3\times 14}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 14.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{42}$$

Απαλοιφή του 42, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 42 και 42.

$$42m^{2}-89m-21=\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$