Επίλυση 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 40x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-10 b=-4$$

Γράψτε πάλι το 40x^{2}-14x+1 ως \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 10x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4x-1=0 και 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 40, το b με -14 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Προσθέστε το 196 και το -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±6}{80} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{80} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±6}{80} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{80} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Η διαίρεση με το 40 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{20}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{40}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{40} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{40} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{40} και το \frac{49}{1600} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Προσθέστε \frac{7}{40} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$