Επίλυση 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4y^{2}+ay+by+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-8 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 4y^{2}-9y+2 ως \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4y στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-2=0 και 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -9 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 81 και το -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{9±7}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το 16 με το 8.

$$y=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{9±7}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Η αφαίρεση του 2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{9}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{2} και το \frac{81}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Παραγον y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Προσθέστε \frac{9}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$