Επίλυση 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -7 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 49 και το -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{33} από 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{4} και το \frac{49}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Παραγον y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Προσθέστε \frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$