Επίλυση 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Λύση ως προς y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4y^{2}-56y=108$$

Αφαιρέστε 108 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Η αφαίρεση του 108 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -56 και το c με -108 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -56 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 3136 και το 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -56 είναι 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 56 και το 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Διαιρέστε το 56+16\sqrt{19} με το 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16\sqrt{19} από 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Διαιρέστε το 56-16\sqrt{19} με το 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Διαιρέστε το -56 με το 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Διαιρέστε το 108 με το 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Διαιρέστε το -14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Προσθέστε το 27 και το 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Παραγον y^{2}-14y+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Απλοποιήστε.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$