Επίλυση 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Παράγοντας

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4y^{2}+ay+by+27. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -24.

$$a=-18 b=-6$$

Γράψτε πάλι το 4y^{2}-24y+27 ως \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2y στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2y-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 576 και το -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{24±12}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{36}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{24±12}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{9}{2} με το x_{1} και το \frac{3}{2} με το x_{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{9}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2y-9}{2} επί \frac{2y-3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$