Επίλυση 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Λύση ως προς x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Για λύσετε ένα ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντικατάσταση, πρώτα λύστε μία από τις εξισώσεις ως προς μία από τις μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το αποτέλεσμα για αυτή τη μεταβλητή στην άλλη εξίσωση.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις και λύστε την ως προς x, απομονώνοντας το x στην αριστερή πλευρά του ίσον.

$$4x-y=5$$

Προσθέστε y και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x=y+5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{4} επί y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{5+y}{4} στην άλλη εξίσωση, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Προσθέστε το -y και το 5y.

$$4y-5=7$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4y=12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$y=3$$

Αντικαταστήστε το y με 3 στην x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{4} επί 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Προσθέστε το \frac{5}{4} και το \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=2$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=2,y=3$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Για τη μήτρα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=2,y=3$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Για να κάνετε τα 4x και -4x ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με -4 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Απλοποιήστε.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Αφαιρέστε -16x+20y=28 από -16x+4y=-20 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Προσθέστε το -16x και το 16x. Οι όροι -16x και 16x απαλείφονται, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$4y-20y=-20-28$$

Προσθέστε το 4y και το -20y.

$$-16y=-20-28$$

Προσθέστε το -20 και το -28.

$$-16y=-48$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -16.

$$y=3$$

Αντικαταστήστε το y με 3 στην -4x+5y=7. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$-4x+5\times 3=7$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 3.

$$-4x+15=7$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-4x=-8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$x=2$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=2,y=3$$