Επίλυση 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-5 b=4$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-x-5 ως \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4x-5=0 και x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -1 και το c με -5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 1 και το 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±9}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±9}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το -8 με το 8.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Η αφαίρεση του -5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Αφαιρέστε -5 από 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Προσθέστε το \frac{5}{4} και το \frac{1}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Προσθέστε \frac{1}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$