Επίλυση 4x^2-8x+12=9

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 12 = 9$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-8x+12-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 12 για να λάβετε 3.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-8 ab=4\times 3=12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-6 b=-2$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-8x+3 ως \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 2x-3=0 και 2x-1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-8x+12=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-8x+12-9=9-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-8x+12-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 12.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -8 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 64 και το -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±4}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{8±4}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 8.

$$x=\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x+12=9$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-8x+12-12=9-12$$

Η αφαίρεση του 12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-8x=9-12$$

Αφαιρέστε 12 από 9.

$$4x^{2}-8x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{3}{4}$$

Διαιρέστε το -8 με το 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{4}$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{3}{4}+1$$

Προσθέστε το -\frac{3}{4} και το 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=\frac{1}{2} x-1=-\frac{1}{2}$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$