Επίλυση 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -7 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 49 και το 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{65} από 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το \frac{49}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Προσθέστε \frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$