Επίλυση 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-4 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-7x+3 ως \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην πρώτη και το -3 στη δεύτερη ομάδα.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-1=0 και 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -7 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 49 και το -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±1}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το 8 με το 8.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±1}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{4} και το \frac{49}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Προσθέστε \frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$