Επίλυση 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-4 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-5x+1 ως \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -5 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 25 και το -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±3}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το 8 με το 8.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±3}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{4} και το \frac{25}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Προσθέστε \frac{5}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$