Επίλυση 4x^2-31x=8

$$4 x ^ { 2 } - 31 x = 8$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-31x-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-31 ab=4\left(-8\right)=-32$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -31.

$$a=-32 b=1$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-31x-8 ως \left(4x^{2}-32x\right)+\left(x-8\right).

$$\left(4x^{2}-32x\right)+\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην εξίσωση 4x^{2}-32x.

$$4x\left(x-8\right)+x-8$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(4x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και 4x+1=0.

$$x=8 x=-\frac{1}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-31x=8$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-31x-8=8-8$$

Η αφαίρεση του 8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-31x-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -31 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -31 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -8.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+128}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 961 και το 128.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1089}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1089.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±33}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -31 είναι 31.

$$x=\frac{31±33}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{31±33}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{31±33}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 31 και το 33.

$$x=\frac{64}{8}$$

Διαιρέστε το 64 με το 8.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{31±33}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 33 από 31.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=-\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-31x=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-31x}{4}=\frac{8}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x=\frac{8}{4}$$

Διαιρέστε το 8 με το 4.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x=2$$

Διαιρέστε το -\frac{31}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{31}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{31}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x+\left(-\frac{31}{8}\right)^{2}=2+\left(-\frac{31}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{31}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x+\frac{961}{64}=2+\frac{961}{64}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{961}{64}.

$$x^{2}-\frac{31}{4}x+\frac{961}{64}=\frac{1089}{64}$$

Παραγον x^{2}-\frac{31}{4}x+\frac{961}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{8}\right)^{2}=\frac{1089}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1089}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{31}{8}=\frac{33}{8} x-\frac{31}{8}=-\frac{33}{8}$$

Προσθέστε \frac{31}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=-\frac{1}{4}$$