Επίλυση 4x^2-25=(2x-5)(7x+3)

$$4 x ^ { 2 } - 25 = ( 2 x - 5 ) ( 7 x + 3 )$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-5 με το 7x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Αφαιρέστε 14x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -14x^{2} για να λάβετε -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Προσθήκη 29x και στις δύο πλευρές.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Προσθήκη 15 και στις δύο πλευρές.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Προσθέστε -25 και 15 για να λάβετε -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -10x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=29 ab=-10\left(-10\right)=100$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 29.

$$a=25 b=4$$

Γράψτε πάλι το -10x^{2}+29x-10 ως \left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right).

$$\left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε -5x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-5x\left(2x-5\right)+2\left(2x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-5\right)\left(-5x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-5=0 και -5x+2=0.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-5 με το 7x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Αφαιρέστε 14x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -14x^{2} για να λάβετε -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Προσθήκη 29x και στις δύο πλευρές.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Προσθήκη 15 και στις δύο πλευρές.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Προσθέστε -25 και 15 για να λάβετε -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -10, το b με 29 και το c με -10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Υψώστε το 29 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841+40\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 40 επί -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-400}}{2\left(-10\right)}$$

Προσθέστε το 841 και το -400.

$$x=\frac{-29±\sqrt{441}}{2\left(-10\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-29±21}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -10.

$$x=\frac{-29±21}{-20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-29±21}{-20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -29 και το 21.

$$x=-\frac{8}{-20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{-20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-29±21}{-20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από -29.

$$x=-\frac{50}{-20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-50}{-20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-5 με το 7x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Αφαιρέστε 14x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -14x^{2} για να λάβετε -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Προσθήκη 29x και στις δύο πλευρές.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Προσθήκη 25 και στις δύο πλευρές.

$$-10x^{2}+29x=-15+25$$

Προσθέστε -15 και 25 για να λάβετε 10.

$$-10x^{2}+29x=10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -10.

$$\frac{-10x^{2}+29x}{-10}=\frac{10}{-10}$$

Η διαίρεση με το -10 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -10.

$$x^{2}+\frac{29}{-10}x=\frac{10}{-10}$$

Διαιρέστε το 29 με το -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=\frac{10}{-10}$$

Διαιρέστε το 10 με το -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=-1$$

Διαιρέστε το -\frac{29}{10}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{29}{20}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{29}{20} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{29}{20} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=-1+\frac{841}{400}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{841}{400}.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=\frac{441}{400}$$

Παραγον x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}=\frac{441}{400}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{400}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{29}{20}=\frac{21}{20} x-\frac{29}{20}=-\frac{21}{20}$$

Προσθέστε \frac{29}{20} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$