Επίλυση 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -2 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 4 και το -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Διαιρέστε το 2+2i\sqrt{35} με το 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{35} από 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Διαιρέστε το 2-2i\sqrt{35} με το 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{4} και το \frac{1}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Προσθέστε \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$