Επίλυση 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-27. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-18 b=6$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-12x-27 ως \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-9=0 και 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -12 και το c με -27 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 144 και το 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±24}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{36}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±24}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Προσθέστε 27 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Η αφαίρεση του -27 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Αφαιρέστε -27 από 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Διαιρέστε το -12 με το 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Προσθέστε το \frac{27}{4} και το \frac{9}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Παραγον x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$