Επίλυση 4x^2-11x-3

$$4 x ^ { 2 } - 11 x - 3$$

Παράγοντας

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-12 b=1$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-11x-3 ως \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην εξίσωση 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 121 και το 48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±13}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{11±13}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±13}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 13.

$$x=\frac{24}{8}$$

Διαιρέστε το 24 με το 8.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±13}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 11.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -\frac{1}{4} με το x_{2}.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4x^{2}-11x-3=\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$