Επίλυση 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -11 και το c με 14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 121 και το -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{103} από 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Η αφαίρεση του 30 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Αφαιρέστε 30 από 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{2} και το \frac{121}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Προσθέστε \frac{11}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$