Επίλυση 4x^2+x-33

$$4 x ^ { 2 } + x - 33$$

Παράγοντας

$$\left(4x-11\right)\left(x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-33. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=4\left(-33\right)=-132$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -132.

$$-1,132 -2,66 -3,44 -4,33 -6,22 -11,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+132=131 -2+66=64 -3+44=41 -4+33=29 -6+22=16 -11+12=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-11 b=12$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+x-33 ως \left(4x^{2}-11x\right)+\left(12x-33\right).

$$\left(4x^{2}-11x\right)+\left(12x-33\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(4x-11\right)+3\left(4x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-11\right)\left(x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+x-33=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-33\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-33\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-33\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -33.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+528}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 1 και το 528.

$$x=\frac{-1±\sqrt{529}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-1±23}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-1±23}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±23}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 23.

$$x=\frac{22}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{22}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{11}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±23}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από -1.

$$x=-\frac{24}{8}$$

Διαιρέστε το -24 με το 8.

$$x=-3$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{11}{4} με το x_{1} και το -3 με το x_{2}.

$$4x^{2}+x-33=4\left(x-\frac{11}{4}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}+x-33=4\left(x-\frac{11}{4}\right)\left(x+3\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{11}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}+x-33=4\times \frac{4x-11}{4}\left(x+3\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4x^{2}+x-33=\left(4x-11\right)\left(x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4x-11\right)\left(x+3\right)$$