Επίλυση 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 4 για a, 8 για b και -45 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{-8±28}{8} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-\frac{5}{2} και x+\frac{9}{2} πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\frac{5}{2} είναι θετικό και το x+\frac{9}{2} είναι αρνητικό.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x+\frac{9}{2} είναι θετικό και το x-\frac{5}{2} είναι αρνητικό.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$